Cet article est originalement paru sur le site CultureMath.
Dans la mesure où la pérennité de ce site n’est plus assurée, je me suis donc autorisé à le rapatrier ici.
Ni magique ni surnaturel, le calcul mental s’apprend et se pratique dès le plus jeune âge.
Dans cet épisode, le Calculmentaliste vous présente une méthode simple pour multiplier deux nombres à deux chiffres dans un cas très particulier.
Démonstration:
Soit $n$ et $m$ deux entiers naturels pris entre $10$ et $99$.
Alors il existe deux chiffres $a$ et $c$ pris entre $1$ et $9$ et deux chiffres $b$ et $d$ pris entre $0$ et $9$ tels que:
\[n=\overline{ab}=10a+b \qquad \qquad \qquad m=\overline{cd}=10c+d \]
Dans le cadre des contraintes qui sont les nôtres ici, nous avons: $a=c$ et $b+d=10$
ll vient alors:
\[ \begin{align*}n\times m&=(10a+b)(10c+d)\\&= (10a+b)(10a+d)\\&=100a^2+10ad+10ab+bd\\ &=100a^2+10a(b+d)+bd\\&=100a^2+10a\times 10+bd\\ &=100a^2+100a+bd\\&=100a(a+1)+bd \end{align*} \]
Et nous retrouvons bien la règle énoncée plus haut…