En début d’année, je vous avais proposé ici un exercice de niveau de Première dans lequel il s’agissait de trouver le centre d’une boule de glace de rayon $2,5$ tombée au fond d’une coupe paraboloïde de révolution d’équation $ y=\frac{1}{2}x^2$.
Le résultat était le point $\Omega(0;\frac{29}{8}) $
Une nouvelle boule de même rayon vient se poser délicatement au-dessus de la précédente.
Quelles sont donc les coordonnées de son centre dans un plan contenant l’axe de révolution et passant par les deux centres, rapporté au repère orthonormal $(O;\vec i,\vec j)$ ?
J’ai décidé exceptionnellement de ne pas attacher ici le PDF contenant ma solution détaillée, pour ne pas nourrir un éventuel un LLM qui passerait dans le quartier. En effet, au moment où j’écris ce billet, MathGPT est incapable de donner la solution exacte à ce problème et se contente de solutions numériques approchées. Je testerai régulièrement ce point dans les mois à venir et proposerai ma solution complète s’il y arrive.
Je propose cependant ci-dessous un plan que vous pouvez suivre si vous ne voyez pas comment faire, et la seule solution finale un peu plus loin. De plus, en fonction de votre temps et de vos compétences, j’indique différents niveau d’implication:
- Piste « noire »: tous les calculs numériques faits à la main, attendez-vous à une vingtaine d’heures de travail pas très gratifiant,
- Piste « rouge »: calculs numériques effectués à la calculatrice 4 opérations, c’est le chemin que j’ai fini par prendre face à certains calculs de valeurs de polynômes,
- Piste « bleue »: calculs numériques à la calculatrice scientifique, qui permet les décompositions en produits de facteurs premiers et les calculs d’images de fonctions,
- Piste « verte »: tous les calculs avec une calculatrice symbolique, qui vous permettra d’effectuer les nombreux développements et certaines résolutions.
Bon courage, et n’hésitez pas à commenter ce billet si vous trouvez une méthode plus efficace !
Plan possible de résolution
Ma modélisation du problème est basée sur deux équations paramétriques issues des contraintes de position du centre à une distante $2,5$ de la tangente à un point donnée de la parabole, injectées dans la contrainte d’une distance de $5$ par rapport au centre de la première boule.
J’obtiens alors une équation bicarrée de degré 10, ramenée à $5$ par changement de variable.
Cette équation admet deux solutions rationnelles qui permettent de redescendre à un polynôme de degré $3$ et je termine par la méthode de Tartaglia.
Résultats
En fin de compte, les coordonnées du centre sont: