Incommensurabilité

Les grecs anciens aimaient raconter des histoires.

Il nous est parvenu d’eux, de proche en proche, malgré les ravages du temps, nombre de mythes et de légendes qui irriguent encore en profondeur notre culture, même scientifique. Parmi ces légendes il en est une¹, confuse et funeste, évoquant les raisons de la fin tragique d’un disciple de Pythagore, Hippase de Métaponte.

Nous sommes aux alentours de 530 avant J.-C., à Crotone, au sud de l’Italie qui s’appelait alors la Grande Grèce. Milon, son futur gendre, vient d’offrir à Pythagore l’hospitalité de sa maison. Ce dernier arrive avec femme et enfants de Sybaris tout proche, après un itinéraire jusque là mouvementé, jugez plutôt. Selon les écrits quasi-hagiographiques en notre possession², abstraction faite des vies antérieures durant lesquelles il prétendait se souvenir d’avoir été fils d’Hermès, puis Euphorbe ayant combattu Ménélas à Troie, puis le devin Hermotime de Clazomènes, Pythagore aurait, excusez du peu, côtoyé les plus grandes figures de son temps. Hermodamas de Samos lui aurait appris à réciter par cœur l’Illiade et I’Odyssée. Thalès de Milet lui aurait enseigné la science. En Égypte, les prêtres du pharaon Amasis, qu’il côtoya pendant vingt-deux ans, l’auraient initié aux mystères de la Grande Diospolis (Thèbes) et l’auraient tatoué sur la cuisse, à l’or fin, du disque ailé de Râ-Atoum le Dieu du Soleil. Les Mages de Chaldée lui auraient révélé en douze ans la doctrine des nombres et de la musique. Il aurait aussi parlé à Zarathoustra et même… à Bouddha lors d’un voyage en Inde. Ajoutons à cela un miraculeux franchissement de précipice au mont Carmel, trois visites aux Enfers ainsi qu’un stage auprès de la grande prêtresse de Delphes et nous obtenons les hauts-faits d’un personnage que tout destinait à devenir gourou.

Ce ne fut pas tout à fait le cas : fort de cette sagesse accumulée à travers l’Orient, Pythagore fonde à son arrivée à Crotone une École de philosophes (on lui doit le terme), une société secrète, aux rites nombreux et aux règlements minutieux, parfois proches de l’ésotérisme (les habitudes alimentaires et vestimentaires des pythagoriciens leur attireront souvent même les moqueries). Pour autant, la confrérie pratique un enseignement universaliste en quête d’une connaissance, de l’Homme et du Monde qui l’entoure, établie par l’unique raison. Cette opposition fondatrice se retrouve dans les deux groupes qui auraient constitués l’École : les acousmaticiens, disciples parvenus à l’enseignement oral, en charge de la perpétuation des préceptes du Maître et de la logistique, et les mathématiciens, plus avancés dans l’enseignement de la science véritable, autorisés à manipuler les symboles et à faire des démonstrations.

C’est ici qu’apparaît la figure controversée d’Hippase de Métaponte.

La confusion des sources sur sa vie, sur son rôle dans l’École et sur ses travaux pourrait presque en faire un personnage symbolique crée à posteriori pour justifier, à travers les raisons et les circonstances de sa fin, de l’émoi suscité par sa découverte d’une vérité mathématique bouleversante : l’incommensurabilité.

Pour comprendre cela, il nous faut revenir au paradigme pythagoricien central, l’articulation entre l’arithmosophie (l’approche ésotérique des nombres) et l’arithmétique. Il n’est pas chose aisée pour nous, produits du rationalisme des Lumières, de percevoir le monde comme des pythagoriciens, pour lesquels « la nature entière a été formée à la ressemblance des nombres, et [que] les nombres sont les premiers de tous les êtres³ ». Pour eux, travailler avec les nombres revient à manipuler l’Univers tout en révélant son sens caché. Nous pouvons cependant nous en faire une idée en observant les premiers nombres figurés.

Puisque le zéro n’existe pas encore⁴, le premier nombre est le Un, la Monade, le principe de toute chose, d’essence divine. Il est dit ni pair ni impair, hermaphrodite et il est l’équivalent en géométrie du point. Puis vient le Deux, la Dyade : paire et femelle, elle symbolise la droite. Puis vient le Trois, premier impair et mâle, premier nombre triangulaire et premier gnomon (nombre figuré à angle droit qui ne change pas la nature de la figure à laquelle on le rajoute, voir ci-dessous), il symbolise le plan. Puis vient le Quatre, premier nombre carré, il symbolise l’espace.

Ces nombres placés les uns sous les autres forment le triangle sacré de la Tétrade, le Tétraktys, et leur somme la Décade, le chiffre parfait du tout.

La Monade se complète par des gnomons tous impairs et engendre des carrés, figures semblables par définition, tandis que la Dyade se complète par des gnomons tous pairs et engendre des rectangles non-semblables. C’est pourquoi les pythagoriciens affirment que les nombres impairs sont limités (peras), finis et déterminés tandis que les nombres pairs sont illimités (apeiron), infinis et indéterminés.

Terminons par le nombre qui occupe une place centrale dans cette arithmosophie, le Cinq, ou Pentade, en ne retenant de ses innombrables occurrences que celles qui nous intéressent ici. Nombre nuptial, puisqu’il marie le premier nombre femelle au premier mâle, nombre de la Justice, puisqu’il divise la Décade en deux parties égales, il permet de construire le plus grand des polyèdres réguliers connu à l’époque, le dodécaèdre aux douze faces pentagonales, associé au cosmos dans la doctrine secrète des pythagoriciens, en tant que celui qui s’approche le plus de la sphère, considérée comme l’enveloppe de l’Univers. De là viendrait que le pentagramme — l’étoile à cinq branche obtenue en traçant les diagonales du pentagone — fut, à en croire la légende, le signe de reconnaissance secret des initiés de l’École pythagoricienne.

Après ces justifications ésotériques, travaillons un peu en mathématiciens.

Des sources concordantes rapportent que Pythagore, passant un jour devant une forge, fut ému par la consonance de cinq marteaux qui frappaient en cadence et, notant leurs masses et les hauteurs relatives des sons produits, en déduisit sa théorie sur les intervalles consonants : l’octave (dans un rapport de 2:1), la quinte pure (3:2), la quarte pure (4:3). Il est dit par ailleurs qu’Hippase aurait obtenu les mêmes résultats en faisant résonner des disques de métal de tailles variées puis des vases diversement remplis d’eau. Quelle ne dut pas être leur satisfaction : une manifestation harmonieuse du cosmos pouvait trouver son explication dans un rapport simple des nombres du Tetraktys !⁵

Cette fascination pour les rapports trouvés dans la nature a son équivalent dans la  géométrie, les Grecs perpétuant là une tradition, héritée de l’Égypte et de Babylone, qui consiste à chercher des rapports d’entiers dans les figures géométriques, les longueurs de leurs côtés et leurs aires. Ils utilisent pour cela une méthode que nous pouvons qualifier d’algorithmique, qui consiste à reporter autant de fois que nécessaire une longueur sur une autre: l’anthyphérèse.⁶ (Pour comprendre comment les calculs sont faits, vous pouvez développer les exemples ci-dessous en cliquant sur les petites flèches, ou continuer votre lecture si vous ne souhaitez pas entrer dans les détails techniques)

Exemple 1 (très simple)

Imaginons que vous deviez mesurer une longueur inconnue $L$ à l’aide d’une perche plus petite de longueur $u$, et que par différences successives, vous arriviez à reporter cette perche 3 fois.
Vous auriez alors exactement $L=3u$, et nous dirons que les longueurs $L$ et $u$ sont commensurables, dans un rapport de $3$.

Exemple 2 (normal)

Imaginons désormais une nouvelle longueur $L_1$ et la même perche plus petite de longueur $u$.
Au bout de 4 reports de la perche, vous constatez qu’il reste une petite longueur, que nous noterons $r$, inférieure à $u$.

Nous avons donc: $L_1=4u+r$
Mais vous constatez ensuite que ce reste $r$ se reporte exactement 3 fois sur la petite perche, c’est à dire $u=3r$.

Nous avons donc $r=\frac{1}{3}u$ et en remplaçant dans la première ligne nous obtenons:
\[L_1=4u+r=4u+\frac{1}{3}u=\Big(4+\frac{1}{3} \Big)u=\frac{13}{3}u \]
Nous dirons à nouveau que les longueurs $L_1$ et $u$ sont commensurables, dans un rapport de $\frac{13}{3}$.

Exemple 3 (complexe)

Imaginons une nouvelle longueur $L_2$ et la même perche plus petite de longueur $u$.
Dans un premier temps, nous arrivons à reporter cette perche 5 fois, et il reste un segment de longueur $r_1$.
Puis nous arrivons à reporter ce reste $r_1$ 4 fois dans $u$ mais il reste un segment de longueur $r_2$.
Enfin, nous réussissons à reporter ce reste $r_2$ exactement 3 fois dans $r_1$.

La première étape permet d’écrire: $L_2=5u+r_1 $.
La seconde étape permet d’écrire: $u=4r_1+r_2$.
La dernière étape permet d’écrire: $r_1=3r_2 $.

En repartant de la dernière ligne nous obtenons: $r_2=\frac{1}{3}r_1$.
En remplaçant dans la deuxième ligne nous obtenons:
\[u=4r_1+\frac{1}{3}r_1=\Big(4+\frac{1}{3}\Big)r_1=\frac{13}{3}r_1 \qquad \text{soit} \qquad r_1=\frac{3}{13}u\]
En remplaçant dans la première ligne nous obtenons:
\[L_2=5u+\frac{3}{13}u=\Big(5+\frac{3}{13}\Big)u=\frac{68}{13}u \]
Nous dirons à nouveau que les longueurs $L_2$ et $u$ sont commensurables, dans un rapport de $\frac{68}{13}$.

Cette méthode très efficace peut continuer aussi longtemps que nécessaire, jusqu’à épuisement de la totalité de la longueur d’origine, pour peu que le dernier reste soit nul. Mais que se passe-t-il si tel n’est pas le cas ?

Le constat de l’échec d’un procédé à établir un résultat définitif n’est pas, pour les pythagoriciens, la preuve de l’impossibilité à l’obtenir par d’autres moyens : s’ils interrompent le procédé au moment où le reste est devenu négligeable, la fraction obtenue, certes approximative, ne remet pas en question le dogme selon lequel la fraction exacte existe. Cependant, cet échec attise la curiosité, la recherche d’un résultat définitif ou d’un procédé alternatif permettant de l’obtenir.

C’est semble-t-il lors de sa quête d’un tel résultat dans la configuration de l’hypoténuse du triangle isocèle rectangle qu’Hippase aurait montré que ce résultat était en réalité impossible à obtenir, la différence semblant se dérober à chaque étape, à l’infini, sans jamais permettre l’obtention d’une fraction⁷. Et c’est pour avoir trahi l’École en divulguant ce résultat perturbant la perfection formelle du cosmos qu’il aurait été « sacrifié » : banni de l’École, il aurait subi des funérailles symboliques.⁸

Les Grecs anciens aimaient raconter, et se raconter, des histoires.

Il y fort à parier que le sacrifice d’Hippase soit une légende destinée à rendre compte d’un évènement majeur, une « scandaleuse » trahison de l’esprit Grec, incarnée par un personnage certes important, mais secondaire. Il serait toutefois insultant pour l’École pythagoricienne, dont les dogmes sont avérés comme intègres, d’y voir une intention malicieuse, une volonté de rétention du savoir. Les adeptes craignaient plutôt que cette découverte, si elle était révélée, ne sème le trouble dans les esprits profanes, incapables d’envisager comment des figures régulières censées représenter la perfection de l’Univers pourraient receler l’irrationalité. Passée la phase del’étonnement philosophique, du bouleversement intellectuel, les pythagoriciens durent quant à eux voir dans cette découverte un degré d’élégance supplémentaire dans la construction du cosmos : le fini ouvre une porte sur l’infini. Cette première rencontre avec un infini « du continu », par opposition à l’infini « du discret » des gnomons, leur offre un motif de satisfaction supplémentaire : la promesse d’un tout nouveau champ d’investigation mathématique.

Bibliographie

DELATTE, Armand. Essai sur la politique pythagoricienne. Paris: Édouard Champion. 1922. 295p

CAVEING, Maurice. L’irrationalité dans les mathématiques grecques jusqu’à Euclide. Paris: Presses Universitaires du Septentrion. 1998. 343p

HELLER-ROAZEN, Daniel. Le cinquième marteau, Pythagore et la dysharmonie du monde. Paris: Le Seuil. 2014. 224p

MATTEI, Jean-François. Pythagore et les pythagoriciens. Paris: Que sais-je ? 2017. 128p

Notes de bas de page

1. Racontée par Jamblique dans deux passages de sa Vie de Pythagore, écrite vers 310, soit près de huit siècles plus tard.
2. Id., mais aussi Diogène Laërce et Porphyre de Tyr au III^e siècle.
3. Dans la Métaphysique d’Aristote (986a).
4. Il faudra attendre plusieurs siècles avant qu’un pseudo-zéro apparaisse dans les travaux de Jamblique de Chalcis
5. Il est intéressant de noter que les intervalles purs suivants, tierce majeure (5:4) et mineure (6:5) conservent la logique de la progression des rapports, mais ne seront considérés consonants qu’à partir du Moyen Âge.
6. Il s’agit de la méthode que les élèves de Troisième apprennent pour calculer le Plus Grand Commun Diviseur de deux entiers.
7. Dans une autre version de la légende, la configuration étudiée est celle du pentagone. Nous ajouterons cette démonstration dans un second temps.
8. Dans une version différente, Jamblique rapporte que les Dieux auraient fait périr Hippase en mer à cause de son impiété.