Soit le carré $ABCD$ tel que $AB=BC=CD=DA=c_0$ et posons $BD=d_0$.
Rabattons $A$ deux fois sur $[BD]$, une fois autour de $B$ pour obtenir $E$, une fois autour de $D$ pour obtenir $F$.
Nous avons donc $FD=BE=c_0$ tandis que $BF=ED=d_0-c_0$.
La perpendiculaire à $(BD)$ passant par $E$ coupe $[AD]$ en $G$, tandis que celle passant par $F$ coupe $[AB]$ en $H$.
Notons ensuite que les triangles $GED$ et $HBF$ sont rectangles, par construction, respectivement en $E$ et en $F$.
Par ailleurs $\widehat{GDE}=\widehat{HBF}=45^\circ$ en tant que $[BD]$ est la diagonale d’un carré. Donc $\widehat{EGD}=\widehat{BHF}=45^\circ$ et les deux triangles sont isocèles rectangles.
Comme ils partagent un même petit côté, alors ils sont égaux et nous avons donc $GD=HB$.
Notons désormais que les triangles $AHD$ et $HFD$ sont rectangles, par construction, respectivement en $A$ et en $F$.
Ils ont $[HD]$ comme côté commun et $AD=FD$.
D’après le théorème de Pythagore, nous avons donc: $HF^2=HD^2-FD^2=HD^2-AD^2=AH^2$ donc $HF=AH$.
De même nous montrerions que $EG=AG$.
Enfin, rappelons que $BFH$ est rectangle isocèle en $F$. Nous pouvons donc compléter avec $I$ tel que $BFHI$ soit un carré.
Nous posons alors $HF=BF=c_1$ ainsi que $BH=d_1$.
Nous avons alors, par la méthode des différences: $d_0-c_0=BD-AD=BD-FD=BF=c_1$
Il vient alors: $c_0-c_1=AB-BF=AB-HF=AB-AH=BH=d_1$
Nous nous retrouvons alors dans la même configuration mais dans un carré plus petit, à devoir calculer $c_2=d_1-c_1$
Et ainsi de suite jusqu’à l’infini.
La méthode des différences (antyphérèse) ne s’arrête jamais et nous en concluons que dans le triangle isocèle rectangle, le côté et la diagonale sont incommensurables.